ПЕРЕВОД...

Математика для игроков в Jeopardy!
Как игроки пролетают с финальными ставками.

Отчего столь много игроков в Jeopardy! ошибаются в финальном раунде? Рассмотрим ситуацию, имевшую место в передаче от 21 марта 2000 года: к финалу у Эндрю было $8000, у шедшей второю Хэйли — $5700, и у замыкающего трио Дэйва — $2700.

Если вы в этой ситуации на месте Эндрю, решение о ставке принять просто, в предположении, что категория финального вопроса нейтральная, т.е., вы знакомы с нею ни чрезвычайно хорошо, ни чрезвычайно плохо. Рационально для Эндрю поставить минимальную сумму, гарантирующую ему победу над Хэйли, пошедшей ва-банк — то есть, достаточно превзойти её (Хэйли) удвоенную сумму на один доллар. В нашем случае следует поставить $3401, что Эндрю в точности и сделал.

Вычислить ставку для Хэйли чуть сложнее. Прежде, чем я скажу вам, как ей следовало ставить, глянем, как она поставила в игре. Подобно большинству соревнующихся, она сделала глубокий вдох в стиле финальной сцены фильма "Тельма и Луиза", поставила $5600, не ответила на финальный вопрос и проиграла. Эндрю ответил на него, выиграл $11401, и вернулся в игру на следующий день. Дэйв, если кому интересно, поставил ва-банк, не ответил и остался ни с чем.

Так вот, Хэйли следовало ставить $299. Заметим, что в случае её реальной ставки, единственный вариант, при котором она могла выиграть, это её ответ и неответ Эндрю. Ясно, что при правильном ответе Эндрю её ставка значения не имеет.

Ставя $299, Хэйли даёт себе дополнительный шанс. Если Эндрю отвечает правильно, он всё равно побеждает, как и раньше. И, как и раньше, если Хэйли отвечает, а Эндрю — нет, Хэйли побеждает. Разница в том, что если Хэйли ставит $299, и они оба не берут финальный вопрос, побеждает она. Её сумма станет $5401, в то время как Эндрю останется с $4599.

Почему Хэйли не может ставить больше $299? Потому, что она должна защититься от Дэйва, чей максимальный результат, в случае его ва-банка, будет $5400. Заметим, что при правильных ставках Дэйв в этом финале не конкурент соперникам. Даже если он поставит всё и возьмёт вопрос, у него всё равно не будет возможности обойти Хэйли, даже в случае её неответа.

Всё это не помогло Хэйли в данном случае, поскольку Эндрю ответил верно. Но не возьми он вопрос, она могла бы победить.

Пояснение к "Правилу Двух Третей": Два гипотетических примера иллюстрируют, почему правило двух третей выдерживает критику.

Перед финалом лидирует Аарон с $12000 и Зак второй с $7000. Для простоты положим, что третий игрок не попал в финал. Зак не может позволить себе скрытый дополнительный шанс, обсуждаемый в статье, поскольку его очки составляют меньше двух третей очков, имеющихся у Аарона. Всё, что следует сделать Аарону - поставить $2001 и он вне зоны досягаемости. Если он не ответит на вопрос, он всё ещё имеет $9999, так что у Зака нет шанса выиграть вторым темпом. Единственый вариант, при котором Зак может выиграть, это его ответ на финальный вопрос и промах Аарона.

Пусть теперь у Зака $10000 вместо $7000. Аарон обязан ставить $8001, чтобы обойти Зака в случае, если они оба возьмут вопрос - что означает, что если они оба промахнутся, Аарон останется с суммой в $3999, давая Заку шанс выиграть.

Для игрока, идущего вторым, всё сводится к тому, чтобы поставить сумму, дающую возможность победы в случае двойного (вместе с лидером) неответа на финальный вопрос. Рациональный в ставках предыдущий чемпион Jeopardy! назвал это "Правилом Двух Третей", поскольку занимающий второе место игрок должен иметь не менее двух третей от суммы, набранной лидером к финальному раунду, чтобы справиться со своей задачей.

Если идущий третьим достаточно близок к лидерам, как в вышеприведённом примере, вам необходимо как можно лучше защититься от него. Следующий сценарий из недавней передачи - прекрасная иллюстрация этого принципа. Подойдя к финалу, Мелисса лидировала с $7500, Майлз был вторым с $7300 и третьей шла Джуди с $5800.

И вновь ставка лидера легко рассчитывается, и Мелисса поставила правильную сумму: $7101 (это позволило бы ей в случае успеха на один доллар первзойти результат Майлза). Майлз же должен был поставить $4301, в то время как Джуди - $2800.

Почему? Чтобы ответить на это, ограничимся сценарием, в котором Мелисса не отвечает на финальный вопрос — потому что если она ставит верно и берёт вопрос, результат предопределён.

Ставка Майлза в $4301 выводит его из-под удара Джуди в случае его правильного ответа, он финиширует с $11601, т.е., две суммы Джуди плюс доллар.

Правильная ставка Джуди, $2800, даёт ей дополнительный шанс, который могла бы иметь и Хэйли из первого примера. Ставя $2800, она может выиграть, если все трое промажут. При этом Мелисса останется с $399, Майлз — с $2999, и мы завтра увидим Джуди в новой игре, поскольку она финиширует с суммой в $3000. (Разумеется, если Джуди ответит правильно, а остальные ошибутся, она всё равно победитель.)

Вадим Карлинский сформулировал ещё одно любопытное правило, которое я, с согласия Вадима, решил назвать

Правило Карлинского:

Если в финале лидер делает отсекающую ставку, а второй номер, как полагается, доставляется до лидера, рассчитывая на его неответ, то, чтобы при обоюдном неответе лидер остался недосягаемым, соотношение очков перед финалом должно превышать 4 к 3.

Звучит чересчур отвлечённо? Посмотрим, что же случилось в действительности: все трое не ответили на финальный вопрос. Мелисса осталась с $399 — чего оказалось достаточно для победы, поскольку ставки её оппонентов оказались абсурдными. Майлз безрассудно поставил $7000, что оставило его с суммой в $300. Джуди пошла ва-банк и осталась ни с чем. Поставь Майлз правильно (или хотя бы близко к правильному — ставка в шесть тысяч приводила бы его к победе), он бы стал чемпионом. Да и Джуди могла оказаться первой.

Вы можете возразить: Если идущий первым знает, что второй собирается ставить в расчёте на неответ первого, отчего бы ему (первому) не поставить столько, чтобы обойти преследователя более скромной ставкой? Потому что всегда есть возможность, что идущий вторым пойдёт ва-банк. И на практике лидер почти всегда ставит на $1 или $100 больше удвоенного количества очков ближайшего соперника. Это тенденция, преимущества которой могут использовать игроки, идущие на втором и третьем местах.

Есть, разумеется, аспекты, могущие служить оправданием — например, Хэйли, Майлз или Джуди получат больший выигрыш, если пойдут ва-банк и выиграют. Но "более безопасная" ставка обеспечит дополнительный шанс для просто выживания и возвращения в игру на следующий день. И, в любом случае, базовая посылка ясна: если вы на втором или на третьем месте перед финалом, не идите ва-банк автоматически. Лучше использовать шанс, могущий привести к победе.

...плюс ОТСЕБЯТИНА...

Добавлю от себя несколько иллюстраций к вышеприведённым рассуждениям (с которыми я, в общем-то согласен), используя в качестве примеров игры телевизионной "Своей Игры".

Итак, классический в каком-то смысле пример из 2003-го года: игра Д.Пухов — А.Мельников — И.Клычкова. Перед финалом соотношение очков 8500:4800:2600. Давайте посмотрим, что было бы при (условно) "правильных" ставках игроков: Пухову надо ставить 1101, Мельникову — 3700. У Клычковой нет никаких шансов на победу, рассчитывать ей можно только на второе место и на набор канцтоваров, соответственно, ей достаточно доставиться до Мельникова, пусть её ставка будет 2200. Рассмотрим все возможные восемь исходов:

В финале, как мы помним случился исход #8 — никто не ответил верно. Побеждать, при здравых ставках, был обязан Пухов. Даже если бы Клычкова пошла ва-банк и единственная взяла вопрос, ей было не опередить Пухова. Реальные же ставки были таковы: мужчины пошли ва-банк, а Клычкова, слегка запутавшись в расчётах, поставила загадочные 2559 очков. И победила с результатом 41 рубль(я в игре 14.01.2006 попытался было пойти на побитие её рекорда... Не вышло. Впрочем, об этом ниже).

Более свежий пример: игра от 26.11.2005, С.Северов — А.Химченко — О.Прохоров. Перед финалом соотношение 1900:5800:3900. Ставки должны бы быть: Химченко — 2001, Прохоров — 99, Северов — неважно, пусть будет ва-банк, 1900.

Рассмотрим возможные исходы:

Реальные ставки игроков были другими:

Никто не взял финальный вопрос и Химченко выиграл. Однако, если бы и он, и Прохоров взяли вопрос, то победил бы Прохоров. С этой точки зрения ставка Химченко была "неправильной". (Вполне может быть, что Химченко, оставив в финале тему "Кто во что одет", сознательно ставил на неответы свои и Прохорова.) Конечно же, игра тем и хороша, что реальный исход способен разрушить схемы, но зачем же лишать себя шансов (я, в данном случае, про Олега Прохорова)?

Игра от 14.01.2006: И.Иткин — А.Успанов — А.Губанов, счёт перед финалом: 3700:6300:5800. Правильные ставки очевидны: Успанов — 5301, Губанов — 1601, Иткин — 500. Если бы ставки были такими, то вот какие могли бы быть исходы:

У меня (Успанов моя фамилия) при собственном неответе нет шансов. Вообще. Побеждают либо Губанов, либо Иткин. На самом же деле, в игре, случился исход #8 (никто не ответил), а ставки были такими:

Соперники подарили мне победу. Не могу сказать, что я на них в претензии. :)

И ещё одна иллюстрация. Игра от 18.02.2006 А.Вассерман — Г.Кузнецов — А.Насонов, счёт перед финалом 9200:9600:7100. Проще всех Кузнецову: его "правильная" ставка 8801, Вассерману бы надо ставить, защищаясь от ва-банка Насонова, 5001, Насонову же, чтобы преуспеть, следовало бы, "по науке", ставить 2900. Тогда пространство исходов выглядело бы так:

В реальности дело почти так и обстояло, только Вассерман пошёл ва-банк:

В игре (в который раз в приведённых примерах) финальный вопрос не взял никто. Любопытно, что ставка Вассермана — "правильная" ли, ва-банк ли — не позволяла ему претендовать на победу в случае исхода #8. Что тут скажешь... "Расклад, батенька, расклад!"

Разумеется, на финальные ставки игроков могут оказывать влияние самые разнообразные факторы: и схема розыгрыша (к примеру, в играх Кубка Десятилетия "выживали" двое из троих играющих, что радикальным образом меняло тактику), и тема финального вопроса или степень её "гробовитости" с точки зрения того или иного игрока (В первом третьфинале розыгрыша 1-го полугодия 2005-го года Я. Зайдельман сознательно поставил на свой неответ, имея 10800 против 8900 у П.  Казённова. Его ставка была 1000, Казённов поставил 2000, оба не взяли вопрос про Ларису Латынину, и Яков победил.)

Текст отсебятины никоим образом не завершён, так что я был бы рад получить ваши комментарии, возражения, советы по поводу вышенаписанного по адресу si (at) alex-utah.org.

Владислав Дронов, ставший на днях (пишу 18.02.2006) чемпионом Беларуси по спортивной "Своей игре", прислал мне свой текст, сопроводив его словами: "Попробую добавить еще небольшую отменятину, которая может перекликаться с, поскольку придумана независимо от и сильно задолго до." Итак:

... плюс ОТМЕНЯТИНА

Не претендую на серьезный вклад в научную теорию ставок — скорее, предлагаю более наглядную её графическую интерпретацию, понятную для игроков, поверхностно знакомых с математикой в рамках школьного курса. Так что излагаю без применения математических терминов, хотя, возможно, и профессиональных математиков (к которым я не отношусь) такая интерпретация заинтересует и натолкнёт на мысли по развитию идеи.

Итак, допустим, к финальному раунду осталось два реальных претендента на победу — лидер (Л), имеющий несколько большую сумму на счету, и преследователь (П). Отложив набранные ими очки на осях координатной плоскости и проведя разделительную линию так, как показано на рисунке (угол с осями координат везде 45 градусов), получаем поле ставок (прямоугольник, включающий в себя точки, соответствующие всем теоретически возможным комбинациям ставок лидера и преследователя), разделённое на 4 области:

• область 4, соответствующая такой комбинации ставок лидера и преследователя, при которой лидер имеет шансы на победу 4/4, т. е. стопроцентные (в нее попадают точки, соответствующие ставкам лидера и преследователя, близким к нулю и не способным серьёзно нарушить статус-кво при любом раскладе).
• область 3, соответствующая такой комбинации ставок лидера и преследователя, при которой лидер имеет шансы на победу 3/4, т. е. при любом исходе, кроме собственного неправильного ответа и правильного ответа преследователя (в неё попадают точки, соответствующие достаточно крупным и близким друг к другу ставкам лидера и преследователя, при которых одинаково правильные либо одинаково неправильные ответы не нарушают статус-кво).
• область 2+, соответствующая такой комбинации ставок лидера и преследователя, при которой лидер имеет шансы на победу 2/4, причём побеждает при двух правильных ответах и проигрывает при двух неправильных (в неё попадают точки, соответствующие крупным ставкам лидера, рассчитывающего на простой вопрос, и небольшим ставкам преследователя, рассчитывающего на сложный вопрос).
• область 2-, соответствующая такой комбинации ставок лидера и преследователя, при которой лидер имеет шансы на победу 2/4, причём побеждает при двух неправильных ответах и проигрывает при двух правильных (в неё попадают точки, соответствующие небольшим ставкам лидера, рассчитывающего на сложный вопрос, и крупным ставкам преследователя, рассчитывающего на простой вопрос).
  

Если принимать во внимание третьего участника финала, схема будет трёхмерной и значительно более сложной для анализа (хотя и в этом случае он возможен), но практика показывает, что в значительной массе случаев третьим можно пренебречь.

Области 3 и 4 благоприятны для лидера, области 2+ и 2- благоприятны для преследователя. Соответственно, их задача сводится к выбору ставки, при которой вероятность попадания в благоприятную для себя область максимальна.

Существует 2 хорошо известных тривиальных и 1 более сложный случай:

1. Л/П > 2. К примеру, Л=230, П=100. Из графика видно, что ставка менее 30 (Л-2П) дает лидеру стопроцентное попадание в зону 4. Здесь лидеры со ставками обычно не ошибаются (рисунок слева).

2. 1.5 < Л/П < 2. К примеру, Л=170, П=100 (рисунок справа). Наглядная иллюстрация к правилу, названному в статье "Правилом двух третей". Из графика видно, что ставка менее 70 (Л-П), но более 30 (2П-Л) позволяет лидеру гарантированно избежать попадания в неприятные для него области 2+ и 2-. При Л/П, близком к 1.5, ширина этого интервала оптимальных ставок лидера уменьшается, и в этом случае лидеры иногда умудряются в него не попадать, делая слишком осторожные ставки. Всё-таки в этом случае существование зоны оптимальных ставок лидера не так очевидно, как в случае 1; данный график как раз и иллюстрирует ее существование более наглядно.

Что касается преследователя, то в данном случае ему следует делать ставку больше 40 (а если существуют сомнения в математических познаниях лидера — больше 70), чтобы гарантированно не попасть в зону 4.

3. Л/П < 1.5. К примеру, Л=130, П=100. Более сложный случай, поскольку ни одна ставка лидера не может обезопасить его от попадания в зону 2+ или 2-. Из графика очевидно только то, что лидеру не рекомендуется делать ставку больше "перекрывающей" ставки 71 (2П-Л+1), т. к. с каждым лишним рублём увеличивается вероятность попадания в зону 2+ и уменьшается — в более благоприятную зону 3. Зато перекрывающая ставка дает лидеру гарантию непопадания в зону 2- (проще говоря, правильный ответ гарантирует лидеру победу).

При ставке менее 30 (Л-П) высока вероятность попадания в зону 2-, зато гарантируется непопадание в зону 2+ (неправильный ответ преследователя гарантирует лидеру победу), а также появляется вероятность попадания в зону 4, гарантирующую лидеру стопроцентную победу, так что лидер, имеющий основания ожидать сложного (по крайней мере для преследователя) вопроса либо осторожной ставки преследователя, вполне может держаться этого интервала.

При "средней" ставке (от 30 до 70) максимизируется вероятность попадания в зону 3, но такая ставка не гарантирует лидеру ни победу при собственном правильном ответе независимо от ответа преследователя, ни победу при неправильном ответе преследователя независимо от собственного ответа. Так что мне кажутся более предпочтительными первые два варианта, хотя на этот счёт могут быть и другие мнения.

Что касается преследователя, то его возможные ставки можно разделить на 2 области:

1. ставка меньше 30 (Л-П), появляется риск попадания в зону 4, зато максимизируется вероятность попадания в зону 2. Такую ставку вполне можно рекомендовать преследователю, играющему против склонного к риску лидера и ожидающему сложного вопроса. Но не следует применять её слишком часто, чтобы не избаловать лидеров :-)
   
2. ставка больше 30, исключается вероятность попадания в зону 4, а вероятность попадания в зону 3 остается постоянной на всём интервале. Здесь также решение принимается, исходя из ожиданий степени рисковости лидера и сложности вопроса.
   

Перпендикуляр из точки пересечения линии перекрывающей ставки лидера с разделительной линией 3 - 2+ дает ещё одну интересную для преследователя ставку (в данном случае, 40), которую преследователь может сделать, предполагая большую вероятность перекрывающей ставки лидера и ожидая сложный вопрос. В данном случае эта ставка попадает в область b. При соотношении Л/П > 1.33 она попадёт в область a, где применение такой ставки кажется мне более опасным для преследователя (наглядная иллюстрация к правилу, названному в "Отсебятине" "Правилом Карлинского").

Вообще, как мне кажется, при соотношении очков лидера и преследователя, меньшем 1.5 (и тем более меньшем 1.33) выбор финальной ставки напоминает известную игру "камень — ножницы — бумага", и здесь решающее значение имеет не математика, а психология, в частности, знание соперника (сильные и слабые темы, склонность к риску), и в не меньшей степени знание редактора пакета вопросов, приобретённое из опыта просмотра предыдущих игр (средний уровень сложности выставляемых на аукцион вопросов для себя лично и процент отвечаемости игроков). Но и в этом случае график имеет важное вспомогательное значение, позволяя быстро окинуть взором все возможные последствия любого из принятых решений.